Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и ци­лин­дра равен 3, так как диа­метр равен 6. Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, L  —  об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Так как пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са, рав­ная про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­ты, равна 12, то вы­со­та ко­ну­са равна 6. Тогда об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 5, а зна­чит, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са Под­ста­вим: Так как R  =  3, то пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а по усло­вию она равна S_б.к, зна­чит, H₁=2,5. Найдём объем ци­лин­дра: под­ста­вим и по­лу­чим, что объем ци­лин­дра равен

Ответ:

Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Из осе­во­го се­че­ния на­хо­дим, что тогда объем ко­ну­са равен а объем ци­лин­дра  —  Так как конус и ци­линдр имеют рав­ные объ­е­мы, то Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Ответ:

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как пло­щадь этого круга по усло­вию равна см², то его ра­ди­ус равен 3 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AOB. От­ре­зок AO = 4 см, AB (ра­ди­ус) = 3 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OB (ра­ди­ус шара) = 5 см.

Найдём объём шара по фор­му­ле Имеем:

Ответ: см³.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ABC  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, AC  — ги­по­те­ну­за. Се­че­ние шара плос­ко­стью ABC  — окруж­ность. Центр этой окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы AC, то есть По тео­ре­ме о се­че­нии шара плос­ко­стью от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти се­че­ния, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KOC яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда OC (ра­ди­ус шара) равен

Объем шара равен

Ответ:

Пря­мо­уголь­ник AABB яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за AB равна 10 см, синус угла ABA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 4 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Пря­мо­уголь­ник AA₁BB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за A₁B равна 13 см, ко­си­нус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AB:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 6 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са L яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сек­то­ра, т. е.

L  =  r  =  12 см.

Пусть угол сек­то­ра, Най­дем длину дуги сек­то­ра по фор­му­ле

Най­ден­ная длина l равна длине окруж­но­сти, ле­жа­щей в ос­но­ва­нии ко­ну­са, т. е. Тогда

Най­дем вы­со­ту ко­ну­са, при­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка POA  — пря­мо­уголь­ный:

Най­дем объём ко­ну­са по фор­му­ле

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме си­ну­сов Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOB вы­со­та ко­ну­са

По­лу­ча­ем объём ко­ну­са:

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са.   — вы­со­та ко­ну­са,   — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти,   — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. Так как центр впи­сан­ной окруж­но­сти лежит на пе­ре­се­че­нии бис­сек­трис, то BO  — бис­сек­три­са От­сю­да Вы­ра­зим:

По­лу­ча­ем объём ко­ну­са:

Ответ:

По­лу­чен­ное тело вра­ще­ния  — два ко­ну­са, со­еди­нен­ных ос­но­ва­ни­ем и име­ю­щих общий ра­ди­ус AO. Их вы­со­та­ми яв­ля­ют­ся от­рез­ки PO и OC. Ги­по­те­ну­за PC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна 3. Най­дем вы­со­ту AO: Объем этого тела равен:

Ответ:

По­лу­чен­ное тело вра­ще­ния  — два ко­ну­са, со­еди­нен­ных ос­но­ва­ни­ем и име­ю­щих общий ра­ди­ус AO. Их вы­со­та­ми яв­ля­ют­ся от­рез­ки PO и OC. Ги­по­те­ну­за PC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна 4. Най­дем вы­со­ту AO:

Объем этого тела:

Ответ:

За­ме­тим, что при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ник будет об­ра­зо­вы­вать ци­линдр с вы­со­той 2 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния Тогда объём фи­гу­ры можно найти, умно­жив пло­щадь ос­но­ва­ния, вы­чис­ля­е­мую по фор­му­ле на вы­со­ту:

Ответ: 36.

За­ме­тим, что при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ник будет об­ра­зо­вы­вать ци­линдр с вы­со­той 4 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния Тогда объём фи­гу­ры можно найти, умно­жив пло­щадь ос­но­ва­ния, вы­чис­ля­е­мую по фор­му­ле на вы­со­ту:

Ответ: 8.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, AB  =  4 см, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BH:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC. AB = 2 см, r = AH = HC = 1 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BH:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ: см³.

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Зна­чит, тогда Так как DK и DM  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, а тре­уголь­ник DMK  — осе­вое се­че­ние, то Тогда имеем:

От­сю­да угол Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MOD вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то ABCD  — квад­рат. Тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в квад­рат ABCD окруж­но­сти. Зна­чит, тогда SM  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Угол SMO  =  α  — угол на­кло­на об­ра­зу­ю­щей. Из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка DSA: Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM имеем:

От­сю­да ис­ко­мый угол Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Так как объем шара равен то R³  =  64, зна­чит, R  =  4. Тогда пло­щадь по­верх­но­сти шара равна

Ответ:

Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара равна тогда R=3. Зна­чит, объём шара равен

Ответ:

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  см. Вы­со­та ко­ну­са равна  см. Ра­ди­ус окруж­но­сти, яв­ля­ю­щей­ся ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са равен OB(см. рис.).

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка BOC, най­дем OB: По фор­му­ле объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ: